連続する整数の和で表せない数はなぜ「2の累乗」だけなのか｜中学入試に潜む思考力の本質

2026年9月17日

中学受験の算数と聞くと、多くの方が「公式を覚えて、当てはめて解く」というイメージを持たれるかもしれません。しかし実際の入試、特に思考力を重視する学校では、知らない問題に対して、その場で規則性を見つけ出す力が問われる場面が数多くあります。

今回は、そうした力を象徴する数論の問題を一つ取り上げ、解き方そのものよりも「この種の問題が何を測っているのか」という視点から掘り下げてみたいと思います。

問題

1以上100以下の整数のうち、2個以上の連続する正の整数の和で表すことができない数は何個あるでしょうか。

（例：5 = 2+3 は表せる。15 = 1+2+3+4+5 も表せる。）

一見すると手がかりのない問題に見えますが、実はある単純な視点に気づくと、驚くほどきれいに整理できます。

いきなり一般論を考えるのではなく、まずは小さな数でいくつか試してみます。中学受験算数において最も重要な姿勢の一つが、この「具体例をいくつか作ってみる」というステップです。

奇数個の連続する整数を足すと、必ず「真ん中の数 × 個数」という形になります。この時点で、ある一つの仮説が浮かび上がります。奇数個の連続和で表せる数は、奇数の約数を持つ数なのではないか。

偶数個の場合も同様に考えると、「中央2つの数の平均 × 個数」という形になり、ここでも結局は奇数の約数が関わってきます。

ここまでの観察を整理すると、次のようにまとめられます。

ある数が奇数の約数を持つならば、その数は必ず連続する整数の和で表すことができる。

逆に言えば、奇数の約数を一切持たない数だけが、連続する整数の和で表せないということになります。

では、奇数の約数を一切持たない数とはどのような数でしょうか。これはすなわち、**2の累乗（2, 4, 8, 16, …）**です。2の累乗は2以外の素因数を持たないため、1以外の奇数の約数を持ちません。

1以上100以下の整数のうち、2個以上の連続する正の整数の和で表すことができない数は、次の7個だけです。

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

実際に確かめてみると、15 = 1+2+3+4+5（5個の連続和）、12 = 3+4+5（3個の連続和）と表せる一方、16はどれだけ試してもどうしても連続和では作れません。16が2の累乗だからです。

この問題自体を暗記しても、入試ではほとんど役に立ちません。同じ形の問題が出ることは稀だからです。しかし、この問題を解く過程で使った思考のプロセスそのものは、数論に限らず、規則性・場合の数・図形など、さまざまな単元で繰り返し要求される力です。

具体的には、次の3つのステップです。

この3ステップを自力で踏める子は、初見の問題に対しても粘り強く手を動かし続けることができます。逆に、公式やパターンの暗記だけに頼ってきた子は、少し形を変えられただけで手が止まってしまう傾向があります。思考力重視型の入試が増えている近年の中学受験において、この差は年々大きくなっていると感じています。

こうした力は、一朝一夕には身につきません。ただ、日々の学習の中でご家庭が意識できることはいくつかあります。

答えを急がせない 　わからない問題に直面したとき、すぐに解法を教えるのではなく、「小さい数で試してみたら？」と具体例づくりを促してみてください。
「なぜそうなるのか」を説明させる 　正解にたどり着いたときこそ、「どうしてそうなると思う？」と一言添えることで、単なる正解から一段深い理解へとつながります。
試行錯誤の過程そのものを認める 　結果の正誤だけでなく、規則性を見つけようとした過程自体を褒めることで、粘り強く考える姿勢が育まれます。